Hola Elsa, los apellidos Martínez y Rodríguez son bastante habituales por lo que es difícil que alguien te pueda informar con certeza sobre los mismos.
De todas maneras y puesto que sabes la fecha exacta de nacimiento de tu abuelo, lo mejor es que pidas su partida de nacimiento al Registro Civil (es lo que hay que hacer para los nacidos con posterioridad a 1870, año en que se creó el Registro Civil en España).
Anllarinos del Sil es un pueblo del Ayuntamiento de Palacios del Sil así que puedes dirigirte a dicho Ayuntamiento y también puedes pedirles las partidas de tus padres, calculando que tuvieran entre 20 y 30 años cuando nació tu abuelo, habrían nacido entre 1873 y 1883. A partir de ahí deberás acudir a los archivos de la Iglesia.
Y una última cosa, la provincia de León siempre fue parte integrante del Reino de Léon, nunca formó parte de Castilla la Vieja